Die Rechtslage ist hier eindeutig!
Wenn du ein gutes Verhältnis zu deinen Nachbarn hast, sollte das auch so bleiben, ich würde auf jeden Fall von einer Anzeige abraten.
Dass sie die Tierarztkosten übernehmen, ist selbstverständlich, offensichtlich auch für deine Nachbarn.
Wichtig finde ich, sich mit den Nachbarn zusammenzusetzen, und zu besprechen, wie man solche Vorfälle in Zukunft vermeidet.
Ich spreche hier aus eigener Erfahrung, mein Hund ist auch einmal aus dem Garten direkt auf den verhassten Dackel, der musste getackert werden. In diesem Fall haben wir mit den netten Nachbarn eine Flasche Wein getrunken und besprochen, welche Maßnahmen wir ergreifen, um zu verhindern, dass das noch einmal passiert.
Selbstverständlich sind wir für alle Kosten aufgekommen, das versteht sich von selbst.
Am nächsten Tag sind die Nachbarn zum Ordnungsamt und ich hatte 2 Jahre lang Spaß....über das heutige Verhältnis zu diesen netten Menschen brauche ich nichts zu sagen...
Viele Grüße von Chris